DERIVIDAS

¿Qué es una derivada?

La  derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tagente a la gráfica de la función en un punto.

¿Para qué sirve una derivada?

Se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con  que se produce el cambio de una situación también se aplica para saber si la rapidez del cambio se mantiene, aumenta o disminuye.

A continuación se mostrará información sobre las interpretaciones de una derivada:

Interpretación geométrica de una derivada.

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

Interpretación física de una derivada.

 

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

A continuación mostraremos un ejemplo por cada tipo de interpretación de derivadas:

Interpretación geométrica de una derivada.

Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

     

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

 

f`(a)=lim┬(n→0)⁡   ((a+h)^2-a^2)/h=    lim┬(n→0)⁡   (a^2+2ah+h^2-a^2)/h=

lim┬(n→0)⁡   (a^2+2ah+h^2-a^2)/h=lim┬(n→0) (2a+h)= 2a

 2a= 1  a=1/2   p[1/2,1/4]

Interpretación física de una derivada.

 

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

  

Vm_=   (e(4)-e(1))/(4-1)=  (〖6.4〗^2-〖6.1〗^2)/3=(96-6)/3=30 m/s

 

velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1

Vi= e`(1)=( lim)┬(n→0) (6(t+h)^2-6t^2)/h = ( lim)┬(n→0) (6(t^2+2ht+h^2 )-6t^2)/h =

( lim)┬(n→0) (6(t^2+2ht+h^2 )-6t^2)/h = ( lim)┬(n→0) (12ht+6h^2)/h =( lim)┬(n→0) (h(12t+6h))/h = 

( lim)┬(n→0)   (12t+6h)=12m/s